CALCULO I.

UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS

CATEDRÁTICO: ING. RAÚL GABRIEL RENDÓN P.

CURSO: CALCULO I

TASAS RELACIONADAS Y OPTIMIZACION

POR: EDILZAR AUDELINO ESCALANTE VELÁSQUEZ

CARNET 0904-15-16332

HUEHUETENAGO GUATEMALA JUNIO 2016.

Se trata de calcular el valor mínimo o máximo de una función de una variable. La variable que se desea maximizar o minimizar se debe expresar como función de otra u otras variables relacionadas en el problema y se debe tomar en cuenta cualquier restricción que se de sobre los posibles valores de la función a maximizar o minimizar

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.

Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.

Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar).

Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.

Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos.

Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.

Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema.

Ejemplos

1. Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto sea máximo

SOLUCIÓN

2. Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior ha sido sustituido por un triángulo equilátero como indica la figura. Problemas de optimización 4 Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6.6 m, halla sus dimensiones para que su superficie sea máxima.

3. Un ranchero tiene 300 m de malla para cercar dos corrales rectangulares iguales y contiguos, es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que el área cercada sea máxima.

SOLUCIÓN

La siguiente figura representa los corrales contiguos:

4. Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos en los extremos. Si el perímetro del terreno es de 50 m, encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima.

SOLUCION

El terreno lo representamos de la diguiente forma.

5. Una ventana presenta forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana con área máxima, si su perímetro es de 10 m.

SOLUCIÓN

Un croquis de la ventana es el siguiente:

Son problemas donde se desea calcular la rapidez con que cambia una cantidad en términos de la razón de cambio de otras cantidades. La relación de variación de todas las cantidades se representa mediante un modelo matemático y se resuelven usando derivadas implícitas

PASOS PARA SOLUCION DE PROBLEMAS

De ser posible trazar diagramas que describan el problema.
Designar con símbolos todas las cantidades dadas y por calcular, ambas, que varían con el tiempo.
Analizar el problema para conocer qué razones de cambio se conocen y cuales se desean calcular.
Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o desean determinarse
Usando la regla de la cadena derivar implícitamente la ecuación obtenida en el paso anterior respecto del tiempo con el objetivo de obtener una ecuación de razones relacionadas
De la ecuación resultante anterior, sustituir los valores conocidos de las variables y de sus razones de cambio con el fin de despejar la razón de cambio requerida

VÍDEO PARA COMPRENDER MEJOR LOS PROBLEMAS DE TASAS RELACIONADAS

EJEMPLOS

Ejercicio 1. Un barco A se desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millas por hora y otro barco B avanza hacia el norte a 15 millas por hora. Ambos se dirigen hacia un punto O del océano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que las distancias iniciales de los barcos A y B al punto O son, respectivamente, de 15 y de 60 millas, se pregunta: ¿A qué velocidad se acercan (o se alejan) los barcos entre sí cuando ha transcurrido una hora? ¿Y cuando han transcurrido 2 horas? ¿En qué momento están más próximos uno de otro?