Optimización

Se trata de calcular el valor mínimo o máximo de una función de una variable. La variable que se desea maximizar o minimizar se debe expresar como función de otra u otras variables relacionadas en el problema y se debe tomar en cuenta cualquier restricción que se de sobre los posibles valores de la función a maximizar o minimizar

PASOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

• Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.

• Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.

• Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar).

• Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.

• Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos.

• Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.

• Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema.

Ejemplos 

1. Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto sea máximo

SOLUCIÓN 

2.  Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior ha sido sustituido por un        triángulo equilátero como indica la figura. Problemas de optimización 4 Sabiendo que el   perímetro de la ventana es de 6.6 m, halla sus dimensiones para que su superficie sea máxima.

3. Un ranchero tiene 300 m de malla para cercar dos corrales rectangulares iguales y contiguos, es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que el área cercada sea máxima.

SOLUCIÓN 

La siguiente figura representa los corrales contiguos: 

4. Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos en los extremos. Si el perímetro del terreno es de 50 m, encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima.

SOLUCION 

El terreno lo representamos de la diguiente forma.

5. Una ventana presenta forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana con área máxima, si su perímetro es de 10 m.

SOLUCIÓN

 Un croquis de la ventana es el siguiente: