Tasas relacionadas

Son problemas donde se desea calcular la rapidez con que cambia una cantidad en términos de la razón de cambio de otras cantidades. La relación de variación de todas las cantidades se representa mediante un modelo matemático y se resuelven usando derivadas implícitas

PASOS PARA SOLUCION DE PROBLEMAS

1. De ser posible trazar diagramas que describan el problema.
2. Designar con símbolos todas las cantidades dadas y por calcular, ambas, que varían con el tiempo.
3. Analizar el problema para conocer qué razones de cambio se conocen y cuales se desean calcular.
4. Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o desean determinarse
5. Usando la regla de la cadena derivar implícitamente la ecuación obtenida en el paso anterior respecto del tiempo con el objetivo de obtener una ecuación de razones relacionadas
6. De la ecuación resultante anterior, sustituir los valores conocidos de las variables y de sus razones de cambio con el fin de despejar la razón de cambio requerida

    VÍDEO PARA COMPRENDER MEJOR  LOS PROBLEMAS DE TASAS RELACIONADAS 

EJEMPLOS

Ejercicio 1. Un barco A se desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millas por hora y otro barco B avanza hacia el norte a 15 millas por hora. Ambos se dirigen hacia un punto O del océano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que las distancias iniciales de los barcos A y B al punto O son, respectivamente, de 15 y de 60 millas, se pregunta: ¿A qué velocidad se acercan (o se alejan) los barcos entre sí cuando ha transcurrido una hora? ¿Y cuando han transcurrido 2 horas? ¿En qué momento están más próximos uno de otro?

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Ejercicio 2. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico si estamos vaciándolo a razón de 3000 litros por minuto?

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Ejercicio 3. El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70 cm por minuto. ¿Con qué rapidez está aumentando el área cuando la longitud del lado es de 12 cm?

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Ejercicio 4. Hallar el volumen del cilindro circular recto más grande que puede inscribirse en un cono circular recto de altura H y radio R conocidos.

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Ejercicio 5. Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros?

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