Optimización
Se trata de calcular el valor mínimo o máximo de
una función de una variable. La variable que se desea maximizar o minimizar se
debe expresar como función de otra u otras variables relacionadas en el
problema y se debe tomar en cuenta cualquier restricción que se de sobre los
posibles valores de la función a maximizar o minimizar
PASOS
PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
- Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.
- Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.
- Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar).
- Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.
- Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos.
- Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.
- Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema.
Ejemplos
1. Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto sea
máximo
SOLUCIÓN
2. Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior ha
sido sustituido por un triángulo equilátero como indica la figura.
Problemas de optimización 4
Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6.6 m, halla sus
dimensiones para que su superficie sea máxima.
3. Un ranchero tiene 300 m de malla para cercar dos corrales rectangulares iguales y contiguos,
es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que el área cercada
sea máxima.
SOLUCIÓN
La siguiente figura representa los corrales contiguos:
4. Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos en los extremos. Si el
perímetro del terreno es de 50 m, encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima.
SOLUCION
El terreno lo representamos de la diguiente forma.
Tasas relacionadas
Son problemas
donde se desea calcular la rapidez con que cambia una cantidad en términos de
la razón de cambio de otras cantidades. La relación de
variación de todas las cantidades se representa mediante un modelo matemático y
se resuelven usando derivadas implícitas
PASOS PARA SOLUCION DE PROBLEMAS
- De ser posible trazar diagramas que describan el problema.
- Designar con símbolos todas las cantidades dadas y por calcular, ambas, que varían con el tiempo.
- Analizar el problema para conocer qué razones de cambio se conocen y cuales se desean calcular.
- Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o desean determinarse
- Usando la regla de la cadena derivar implícitamente la ecuación obtenida en el paso anterior respecto del tiempo con el objetivo de obtener una ecuación de razones relacionadas
- De la ecuación resultante anterior, sustituir los valores conocidos de las variables y de sus razones de cambio con el fin de despejar la razón de cambio requerida
VÍDEO PARA COMPRENDER MEJOR LOS PROBLEMAS DE TASAS RELACIONADAS
EJEMPLOS
Ejercicio 1. Un barco A se desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millas por hora y otro barco B avanza hacia el
norte a 15 millas por hora. Ambos se dirigen hacia un punto O del océano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que las
distancias iniciales de los barcos A y B al punto O son, respectivamente, de 15 y de 60 millas, se pregunta: ¿A qué velocidad
se acercan (o se alejan) los barcos entre sí cuando ha transcurrido una hora? ¿Y cuando han transcurrido 2 horas? ¿En qué
momento están más próximos uno de otro?
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Ejercicio 2. ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico si estamos vaciándolo a razón de
3000 litros por minuto?
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Ejercicio 3. El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70 cm por minuto. ¿Con qué rapidez está aumentando el
área cuando la longitud del lado es de 12 cm?
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Ejercicio 4. Hallar el volumen del cilindro circular recto más grande que puede inscribirse en un cono circular recto de
altura H y radio R conocidos.
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Ejercicio 5. Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. Sabiendo que la
altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha
alcanzado una profundidad de 6 metros?
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